[2016년 백신고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3`}+ax^2 +bx +c]가 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: 5]를 갖고 [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: d]를 가질 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: a+b+c+d`]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: rm A]회사는 하루에 제품 [eqn: x]개를 생산하는데 드는 비용이
[eqn: f(x)=x ^{3} -30x ^{2} +500x+400](원)이고 생산된 제품은 [eqn: 1]개당 [eqn: 500]원에 판매가 된다. 하루의 이익을 최대로 하기 위해 하루에 생산해야 할 제품의 개수는? [4.6점]

③

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

실수 전체 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x) =-x^3 +ax^2 -ax +5 `]의 역함수가 존재하기 위한 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.4점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f` prime (x)]의 그래프이다. [eqn: y=f(x)]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은? [4.7점]

②

① [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=4]에서 극대이다.

② [eqn: y=f(x)]는 구간 [eqn: (3,```6)]에서 증가한다.

③ [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=5]에서 미분가능하지 않다.

④ [eqn: y=f(x)]는 구간 [eqn: (1,```2)]에서 상수함수이다.

⑤ [eqn: y=f(x)]는 구간 [eqn: (0,```6)]에서 [eqn: 2]개의 극값을 가진다.

점 [eqn: (0,```a)]에서 곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +1]로 서로 다른 세 접선을 그을 수 있는 [eqn: a]의 범위가 [eqn: p<a<q]일 때, 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값은? [5.0점]

⑤

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 원점을 출발하여 [eqn: t]초 후 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: x]라고 할 때, [eqn: x=t^3 -3t^2]이다. 점 [eqn: rmP]가 출발 후 다시 원점을 지나는 순간의 속도는? [4.4점]

⑤

① [eqn: -9]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {{x ^{3}} over {x ^{2} -x+1} dx+ int _{} ^{} {{1} over {x ^{2} -x+1} dx}}]에 대하여
[eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f(-2)]의 값은? [4.2점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: f(1)=6]이고 [eqn: F(x) =xf(x) -4x^3 -2x^2 -3]일 때, [eqn: f(-1)]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f(x+y ) =f(x) +f(y) +xy +1]
을 만족시키고, [eqn: f` prime (0)=1]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음은 반지름의 길이가 [eqn: r]인 반구의 부피를 구분구적법으로 구하는 과정이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [5.0점]

그림과 같이 반구의 높이를 [eqn: n]등분한 후 각 등분점을 지나고 밑면에 평행한 평면으로 잘라 높이가 [eqn: { r} over {n }]인 원기둥으로 분할할 때, 이들 원기둥의 부피의 합을 [eqn: V_n]이라 하자.

아래에서 [eqn: k]번째 있는 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 [eqn: BOX{`````(가)`````}]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {V _{n} = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{BOX{```(나)```}} pi LEFT ( BOX{`````(가)`````} RIGHT ) ^{2} CDOT {r} over {n} = pi r ^{3} int _{0} ^{1} {BOX{`````(다)`````}} dx}}]

반구의 부피를 [eqn: V]라 하면 [eqn: V = { 2} over {3 } pi r^3`] 이다.

④

(가)	(나)	(다)

① [eqn: { r} over {n } sqrt { n^2 +k^2} `]	[eqn: n]	[eqn: x^2 -1]

② [eqn: { r} over {n } sqrt { n^2 +k^2}`]	[eqn: n-1]	[eqn: 1+x^2]

③ [eqn: { r} over {n } sqrt { n^2 -k^2}]	[eqn: n]	[eqn: (1-x)^2 `]

④ [eqn: { r} over {n } sqrt { n^2 -k^2}`]	[eqn: n-1]	[eqn: 1-x^2 `]

⑤ [eqn: { r} over {n } sqrt { n^2 -k^2}`]	[eqn: n-1]	[eqn: 2x^2]

[eqn: int _{-3} ^{1} {LEFT ( 4x ^{3} +3x ^{2} -2x RIGHT ) dx- int _{3} ^{1} {LEFT ( 4x ^{3} +3x ^{2} -2x RIGHT ) dx}}]의 값은?
[4.4점]

②

① [eqn: 27]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 162]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: int _1 ^x {f(t) dt = x^3 +x^2 +2x int _0 ^1 {f(t) dt]
일 때, [eqn: f(1)]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) =int _x ^x+3 {t(t-1) dt]의 최솟값은? [4.8점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: { 3} over {2 }]	③ 2

④ [eqn: { 5} over {2 }]	⑤ [eqn: 3]

급수 [eqn: lim_n->inf { { 4} over { n^3} sum_k=1 ^n (3n+2k)^2]을 정적분으로 나타낼 때, 옳지 않은 것은? [4.8점]

⑤

① [eqn: 2int _3 ^5 {x^2 dx]	② [eqn: 2int _-5^-3 {x^2 dx`]

③ [eqn: 2int _2 ^4 {(1+x)^2 dx`]	④ [eqn: 2 int _0^2 {(3+x)^2 dx`]

⑤ [eqn: 4 int _0 ^2 {(3+2x)^2 dx `]

곡선 [eqn: y=x^3 +x^2 -x -1]과 [eqn: x]축 및 [eqn: x=2]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: { a} over { b}]일 때, [eqn: b != 0]인 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: 59]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 68]

④ [eqn: 71]	⑤ [eqn: 75]

[eqn: x ge 0]에서 함수 [eqn: f(x) =x^2]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4.7점]

③

① [eqn: { 1} over {6 }]	② [eqn: { 1} over {4 }]	③ [eqn: { 1} over {3 }]

④ [eqn: { 1} over { 2}]	⑤ [eqn: { 2} over {3 }]

[eqn: x=1]에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(0 le t le 7 )]에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳지 않은 것은? [4.7점]

②

① [eqn: t=3]일 때, 속력이 가장 크다.

② [eqn: t=3]일 때, 점 [eqn: rmP]는 원점에 있다.

③ [eqn: t=0]에서 [eqn: t=7]까지 움직인 거리는 [eqn: 5]이다.

④ [eqn: t=1]에서 [eqn: t=5]까지의 위치의 변화량은 [eqn: -1]이다.

⑤ 출발 후 [eqn: t=7]까지 점 [eqn: rmP]의 운동방향은 [eqn: 2]번 바뀐다.

구간 [eqn: (- INF ,``` INF )]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= {cases{1&```(|`x`| GEQ 1)#x ^{2} -2&```(|`x`|<1)}}]
에 대하여 함수 [eqn: f(x+t) (x-t)]의 불연속점의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: t]는 실수이다.) [4.9점]

②

ㄱ. [eqn: g(-1) =3]

ㄴ. 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t ) >0]

ㄷ. [eqn: t>1]일 때, [eqn: g(t) =5]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{4} -4x ^{3} +k], [eqn: g(x)=-8x(x-1)]에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 8.0점]

(1) [eqn: 3 <k`]

(2) [eqn: k>29`]

(1) 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) >g(x)]가 성립하도록

실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[4.0점]

(2) 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f(x_1 ) > g(x_2 )]가

성립하도록 실수 [eqn: k`]의 값의 범위를 구하고, 그 과정을

서술하시오. [4.0점]

함수 [eqn: f(x) = lim_n->inf { { x^2n +x^2 } over {x^2n +1 }]에 대하여 정적분 [eqn: int _{-2} ^{1} {f(x)dx}]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: { 5} over {3 }]

자동차가 출발하여 [eqn: 12rmkm]까지는 [eqn: v(t) =3t^2 +2t (rmkm/분)]의 속도로 달린 후, 그 후로는 일정한 속도로 달렸다고 한다. 이 자동차가 출발 후 [eqn: 5]분 동안 달린 거리를 구하고 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 60]

[2016년 백신고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com